*** Étude de fréquentation d'un cinéma

Une étude a été réalisée sur la fréquentation du cinéma dans une ville française pendant un mois.

Dans cette ville, \(25\,\) % des habitants sont dans la tranche d'âge \(0-14\)  ans, on les nomme « les enfants » ;  \(20\,\) % des habitants sont dans la tranche d'âge \(15-25\)  ans, on les nomme « les jeunes » ; les autres habitants sont nommés « les adultes ».

On choisit un habitant dans cette ville au hasard.

On note \(\text E\) , \(\text J\) , \(\text A\)  les événements suivants :

• \(\text E\) : « L'habitant choisi est dans la tranche \(0-14\)  ans. »
  
• \(\text J\)  : « L'habitant choisi est dans la tranche \(15-25\)  ans. »
  
• \(\text A\)  : « L'habitant choisi est un adulte. »
  

On appelle \(X\)  la variable aléatoire qui donne le nombre de séances auxquelles l'habitant choisi a assisté pendant un mois. L'étude menée permet d'établir les tableaux de probabilités conditionnelles suivants où, par exemple, \(P_J\left(X = 2\right)\)  désigne la probabilité que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma sachant qu'il est jeune.

1. Déterminer la probabilité que l'habitant choisi :
    a. soit adulte ;
    b. soit jeune et aille deux fois par mois au cinéma.

2. Calculer la probabilité pour que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma.

3. a. Compléter le tableau suivant pour obtenir la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) .
    b. Calculer l'espérance mathématique de \(X\) . Interpréter le résultat obtenu.